■ - うべの時空代数

よく
$\partial_ie_j=\Gamma^k_{ij}e_k$
とされるがほんとにそうなのか．
中心を基底 $\{e_1,\ e_2,\ e_3\}$ が張る三次元正規直交直線座標系に置く半径 $R$ の球面は位置ベクトルで
$x=R\cos\theta_1\cos\theta_2e_1+R\sin\theta_1\cos\theta_2e_2+R\sin\theta_2e_3=Rn\ (-\pi\leq\theta_1\leq\pi,\ -\frac{\pi}{2}\leq\theta_2\leq\frac{\pi}{2})$
と表すことができる．球面上の接空間における基底は
$e'_1=\frac{\partial x}{\partial \theta_1}=-R\sin\theta_1\cos\theta_2e_1+R\cos\theta_1\cos\theta_2e_2\\e'_2=\frac{\partial x}{\partial \theta_2}=-R\cos\theta_1\sin\theta_2e_1-R\sin\theta_1\sin\theta_2e_2+R\cos\theta_2e_3$
と定義さる．曲面上の計量は
$g_{11}=e'_1\cdot e'_1=(R\cos\theta_2)^2\\g_{22}=e'_2\cdot e'_2=R^2\\g_{12}=g_{21}=e'_1\cdot e'_2=e'_2\cdot e'_1=0$
$g^{11}=(R\cos\theta_2)^{-2}\\g^{22}=R^{-2}\\g^{12}=g^{21}=0$
と定義される．またクリストッフェル記号は
$\Gamma^k_{ij}=\frac12g^{ka}\{\partial_ig_{ja}+\partial_jg_{ia}-\partial_ag_{ij}\}$
より
$\Gamma^1_{11}=0\\\Gamma^2_{22}=0\\\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}=-\tan\theta_2\\\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=0\\\Gamma^1_{22}=0\\\Gamma^2_{11}=\cos\theta_2\sin\theta_2$
である．
$\partial_1e'_1=-R\cos\theta_1\cos\theta_2e_1-R\sin\theta_1\cos\theta_2e_2\\\partial_2e'_2=\frac{\partial n}{\partial \theta_2}=-R\cos\theta_1\cos\theta_2e_1-R\sin\theta_1\cos\theta_2e_2-R\sin\theta_2e_3\\\partial_1e'_2=R\sin\theta_1\sin\theta_2e_1-R\cos\theta_1\sin\theta_2e_2\\\partial_2e'_1=R\sin\theta_1\sin\theta_2e_1-R\cos\theta_1\sin\theta_2e_2$
$\Gamma^k_{11}e'_k=\cos\theta_2\sin\theta_2\{-R\cos\theta_1\sin\theta_2e_1-R\sin\theta_1\sin\theta_2e_2+R\cos\theta_2e_3\}\\\Gamma^k_{22}e'_k=0\\\Gamma^k_{12}e'_k=\Gamma^k_{21}e'_k=R\sin\theta_1\sin\theta_2e_1-R\cos\theta_1\sin\theta_2e_2$
後半二つは一致しているが前半が全然違う．差を求めてみよう．
$\partial_1e'_1-\Gamma^k_{11}e'_k\\=-R\{\cos\theta_1\cos\theta_2e_1+\sin\theta_1\cos\theta_2e_2+\cos\theta_2\sin\theta_2\{-\cos\theta_1\sin\theta_2e_1-\sin\theta_1\sin\theta_2e_2+\cos\theta_2e_3\}\\=-R(\cos\theta_2)^2\{\cos\theta_1\cos\theta_2e_1+\sin\theta_1\cos\theta_2e_2+\sin\theta_2e_3\}\\=-R(\cos\theta_2)^2n\\\partial_2e'_2-\Gamma^k_{22}e'_k=-Rn$
よって
$b_{11}=-R(\cos\theta_2)^2\\b_{22}=-R\\b_{12}=b_{21}=0$
$\partial_ie'_j=\Gamma^k_{ij}e'_k+b_{ij}n$
この球面に限って $b$ は計量を $-R$ 倍したものに等しい．この辺の議論をできるようになりたいがそれは「計量微分幾何学」に書いてある．