うべの時空代数

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幾何代数と重力場中の物理

\def\ou#1#2#3{\overset{#2}{\underset{#3}{#1}}}\def\diff{\mathrm{d}}\def\biff{\mathrm{b}}\def\D{\mathrm{D}}\def\p{\mathrm{p}}\def\pu#1{\underset{#1}{\mathrm{p}}}\def\G#1#2{\overset{#1}{\underset{#2}{\Gamma}}}現代の物理学は最小作用の原理の登場により成分のみの表示で導出され，テンソルなどの基底が物理方程式中に論じられなくなったように思う．例えば測地線は作用から導くことができるが，基底を使って記述すると
u:=\frac{\diff\overset{\mu}{x}}{\diff\sigma}\ou{\gamma}{}{\mu},\\0=\frac{\diff u}{\diff\sigma},
と書くことができる．これは積の微分法と連鎖律により簡単に測地線の方程式に書き直すことができる．基底に幾何代数の性質を持たせたなら重力場中のマクスウェル方程式は
A:=\ou{A}{\mu}{}\ou{\gamma}{}{\mu},\\J:=\ou{J}{\mu}{}\ou{\gamma}{}{\mu},\\\D:=\pu{\mu}\ou{\gamma}{\mu}{},\\0=A\wedge\D\D+J,
と書くことができる．ただし幾何積より楔積の計算を優先する．これが正しいのか確かめよう．まず3次の部分から計算するため楔積を考える．
A\wedge\D\wedge\D=0.
\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\ou{\gamma}{\mu}{}\wedge\ou{\gamma}{\nu}{}\}\wedge\{\pu{\sigma}\ou{\gamma}{\sigma}{}\}\\=\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{\gamma}{\mu}{}\wedge\ou{\gamma}{\nu}{}\wedge\ou{\gamma}{\sigma}{}+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\{\ou{\gamma}{\mu}{}\pu{\sigma}\}\wedge\ou{\gamma}{\nu}{}\wedge\ou{\gamma}{\sigma}{}+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\ou{\gamma}{\mu}{}\wedge\{\ou{\gamma}{\nu}{}\pu{\sigma}\}\wedge\ou{\gamma}{\sigma}{}\\=\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{\gamma}{\mu}{}\wedge\ou{\gamma}{\nu}{}\wedge\ou{\gamma}{\sigma}{}+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\mu}{\sigma\alpha}\ou{\gamma}{\alpha}{}\wedge\ou{\gamma}{\nu}{}\wedge\ou{\gamma}{\sigma}{}+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\nu}{\sigma\alpha}\ou{\gamma}{\mu}{}\wedge\ou{\gamma}{\alpha}{}\wedge\ou{\gamma}{\sigma}{}\\=\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{\gamma}{\mu}{}\wedge\ou{\gamma}{\nu}{}\wedge\ou{\gamma}{\sigma}{}+\ou{A}{}{\alpha}\pu{\nu}\G{\alpha}{\sigma\mu}\ou{\gamma}{\mu}{}\wedge\ou{\gamma}{\nu}{}\wedge\ou{\gamma}{\sigma}{}+\ou{A}{}{\mu}\pu{\alpha}\G{\alpha}{\sigma\nu}\ou{\gamma}{\mu}{}\wedge\ou{\gamma}{\nu}{}\wedge\ou{\gamma}{\sigma}{}\\=\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}+\ou{A}{}{\alpha}\pu{\nu}\G{\alpha}{\sigma\mu}+\ou{A}{}{\mu}\pu{\alpha}\G{\alpha}{\sigma\nu}\}\ou{\gamma}{\mu}{}\wedge\ou{\gamma}{\nu}{}\wedge\ou{\gamma}{\sigma}{}
3次基底\ou{\gamma}{\mu}{}\wedge\ou{\gamma}{\nu}{}\wedge\ou{\gamma}{\sigma}{}|\nu\neq\sigma\land\sigma\neq\mu\land\mu\neq\nuの成分は
\ \ \ \ \ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}+\ou{A}{}{\alpha}\pu{\nu}\G{\alpha}{\sigma\mu}+\ou{A}{}{\mu}\pu{\alpha}\G{\alpha}{\sigma\nu}-\ou{A}{}{\sigma}\pu{\nu}\pu{\mu}-\ou{A}{}{\alpha}\pu{\nu}\G{\alpha}{\mu\sigma}-\ou{A}{}{\sigma}\pu{\alpha}\G{\alpha}{\mu\nu}\\+\ou{A}{}{\sigma}\pu{\mu}\pu{\nu}+\ou{A}{}{\alpha}\pu{\mu}\G{\alpha}{\nu\sigma}+\ou{A}{}{\sigma}\pu{\alpha}\G{\alpha}{\nu\mu}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\sigma}\pu{\nu}-\ou{A}{}{\alpha}\pu{\sigma}\G{\alpha}{\nu\mu}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\alpha}\G{\alpha}{\nu\sigma}\\+\ou{A}{}{\nu}\pu{\sigma}\pu{\mu}+\ou{A}{}{\alpha}\pu{\sigma}\G{\alpha}{\mu\nu}+\ou{A}{}{\nu}\pu{\alpha}\G{\alpha}{\mu\sigma}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\mu}\pu{\sigma}-\ou{A}{}{\alpha}\pu{\mu}\G{\alpha}{\sigma\nu}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\alpha}\G{\alpha}{\sigma\mu}\\=0
クリストッフェル記号を含む項同士で打ち消されるため
\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\mu}\pu{\sigma}+\ou{A}{}{\sigma}\pu{\mu}\pu{\nu}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\sigma}\pu{\nu}+\ou{A}{}{\nu}\pu{\sigma}\pu{\mu}-\ou{A}{}{\sigma}\pu{\nu}\pu{\mu}=0,\\\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\mu}\}\pu{\sigma}+\{\ou{A}{}{\sigma}\pu{\mu}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\sigma}\}\pu{\nu}+\{\ou{A}{}{\nu}\pu{\sigma}-\ou{A}{}{\sigma}\pu{\nu}\}\pu{\mu}=0.
これは重力場中のマクスウェル方程式の半分である．次に一部の部分を計算するために峡積を考える．ただし峡積より楔積を優先する．
A\wedge\D\vee\D=-J.
\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\}\vee\{\pu{\sigma}\ou{\gamma}{\sigma}{}\}\\=\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}\\+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\{\ou{g}{\mu\beta}{}\pu{\sigma}\}\ou{g}{\nu\rho}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\ou{g}{\mu\beta}{}\{\ou{g}{\nu\rho}{}\pu{\sigma}\}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}\\+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}\{\ou{\gamma}{}{\beta}\pu{\sigma}\}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\{\ou{\gamma}{}{\rho}\pu{\sigma}\}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}\\=\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}\\+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\{-\G{\mu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\beta}{}-\G{\beta}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\mu}{}\}\ou{g}{\nu\rho}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\ou{g}{\mu\beta}{}\{-\G{\nu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\rho}{}-\G{\rho}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\nu}{}\}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}\\+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}\{\G{\alpha}{\beta\sigma}\ou{\gamma}{}{\alpha}\}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\{\G{\alpha}{\rho\sigma}\ou{\gamma}{}{\alpha}\}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}\\=\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}\\-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\mu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\beta}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\mu}{}\ou{g}{\nu\rho}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\nu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\alpha\rho}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\rho}{\alpha\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\alpha\nu}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}\\+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\beta}{\alpha\sigma}\ou{g}{\mu\alpha}{}\ou{g}{\nu\rho}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}+\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\rho}{\alpha\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\alpha}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}\\=\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\mu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\nu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\alpha\rho}{}\}\ou{\gamma}{}{\beta}\wedge\ou{\gamma}{}{\rho}\vee\ou{\gamma}{\sigma}{}\\=\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\mu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\beta}{}\ou{g}{\nu\rho}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\nu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\alpha\rho}{}\}\{\ou{\delta}{\sigma}{\rho}\ou{\gamma}{}{\beta}-\ou{\delta}{\sigma}{\beta}\ou{\gamma}{}{\rho}\}\\=\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\sigma}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\mu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\beta}{}\ou{g}{\nu\sigma}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\nu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\alpha\sigma}{}\}\ou{\gamma}{}{\beta}\\-\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{g}{\mu\sigma}{}\ou{g}{\nu\rho}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\mu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\sigma}{}\ou{g}{\nu\rho}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\nu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\mu\sigma}{}\ou{g}{\alpha\rho}{}\}\ou{\gamma}{}{\rho}\\=\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\sigma}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\mu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\beta}{}\ou{g}{\nu\sigma}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\nu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\alpha\sigma}{}\}\ou{\gamma}{}{\beta}\\-\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{g}{\mu\sigma}{}\ou{g}{\nu\beta}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\mu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\sigma}{}\ou{g}{\nu\beta}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\nu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\mu\sigma}{}\ou{g}{\alpha\beta}{}\}\ou{\gamma}{}{\beta}\\=\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\pu{\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\sigma}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\mu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\beta}{}\ou{g}{\nu\sigma}{}-\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}\G{\nu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\alpha\sigma}{}\}\ou{\gamma}{}{\beta}\\-\{\ou{A}{}{\nu}\pu{\mu}\pu{\sigma}\ou{g}{\nu\sigma}{}\ou{g}{\mu\beta}{}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\mu}\G{\nu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\sigma}{}\ou{g}{\mu\beta}{}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\mu}\G{\mu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\nu\sigma}{}\ou{g}{\alpha\beta}{}\}\ou{\gamma}{}{\beta}
=\{\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\mu}\}\pu{\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\sigma}{}-\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\mu}\}\G{\mu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\alpha\beta}{}\ou{g}{\nu\sigma}{}-\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\mu}\}\G{\nu}{\alpha\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\alpha\sigma}{}\}\ou{\gamma}{}{\beta}\\=\{\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\mu}\}\pu{\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\sigma}{}-\{\ou{A}{}{\alpha}\pu{\nu}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\alpha}\}\G{\alpha}{\mu\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\sigma}{}-\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\alpha}-\ou{A}{}{\alpha}\pu{\mu}\}\G{\alpha}{\nu\sigma}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\sigma}{}\}\ou{\gamma}{}{\beta}\\=\{\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\nu}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\mu}\}\pu{\sigma}-\{\ou{A}{}{\alpha}\pu{\nu}-\ou{A}{}{\nu}\pu{\alpha}\}\G{\alpha}{\mu\sigma}-\{\ou{A}{}{\mu}\pu{\alpha}-\ou{A}{}{\alpha}\pu{\mu}\}\G{\alpha}{\nu\sigma}\}\ou{g}{\mu\beta}{}\ou{g}{\nu\sigma}{}\ou{\gamma}{}{\beta}\\=-\ou{J}{\beta}{}\ou{\gamma}{}{\beta}
正しいことが証明されたが計量を偏微分しなければよかったと後悔している．幾何代数は曲線座標系に拡張すれば平坦時空であろうとなかろうと0=A\wedge\D\D+Jと書かれることがわかっただろうか．これは方程式に時空の曲がり具合の情報をもつ基底を含めたからなせることである．電荷の保存則を確認してみよう．
\{A\wedge\D\D\}\vee\D\\\{A\wedge\D\vee\D+A\wedge\D\wedge\D\}\vee\D\\=A\wedge\D\vee\D\vee\D=0\\J\vee\D=0
同じ演算が続いたら恒等的に0である．ゲージ変換をしてみよう．
A'\wedge\D\D\\=\{A+u\D\}\wedge\D\D\\=A\wedge\D\D+u\wedge\D\wedge\D\D\\=A\wedge\D\D
ローレンツゲージは
A\vee\D=0
で与えられ，これを満たすAのマクスウェル方程式は
0=A\D^2+J
であり，\D^2は
\{\pu{\mu}\ou{\gamma}{\mu}{}\}\pu{\nu}\ou{\gamma}{\nu}{}\\=\pu{\mu}\pu{\nu}\ou{\gamma}{\mu}{}\ou{\gamma}{\nu}{}+\pu{\mu}\{\ou{\gamma}{\mu}{}\pu{\nu}\}\ou{\gamma}{\nu}{}\\=\pu{\mu}\pu{\nu}\ou{\gamma}{\mu}{}\ou{\gamma}{\nu}{}-\pu{\mu}\G{\mu}{\nu\alpha}\ou{\gamma}{\alpha}{}\ou{\gamma}{\nu}{}\\=\{\pu{\mu}\pu{\nu}-\pu{\alpha}\G{\alpha}{\nu\mu}\}\ou{\gamma}{\mu}{}\ou{\gamma}{\nu}{}
である．さてここから座標の必要のない微分形式に勝るためにはどうすればよいか．作用でも使えるようにすればいいわけであるため微小量の議論が幾何代数でもできるように幾何代数をさらに拡張し微分形式同様の積分などの理論を構築していけばよいのだろうか．交代性は幾何代数がもつだろうから対称微分形式を使用することになるだろう．また気長に考えよう．