2026-06-12

■

	λ	R_c	R_L	Y
Q_L	-1/2	3	2	1/6
Q_L^C	1/2	-3	2	-1/6
u_R	1/2	3	1	2/3
u_R^C	-1/2	-3	1	-2/3
d_R	1/2	3	1	-1/3
d_R^C	-1/2	-3	1	1/3
L_L	-1/2	1	2	-1/2
L_L^C	1/2	1	2	1/2
e_R	1/2	1	1	-1
e_R^C	-1/2	1	1	1
G_+	1	8	1	0
G_-	-1	8	1	0
W_+	1	1	3	0
W_-	-1	1	3	0
B_+	1	1	1	0
B_-	-1	1	1	0
H	0	1	2	1/2
H~	0	1	2	-1/2

2025-11-15

将棋の構想メモ

初手角道を開け、相手も開けたらすぐに角道を止めるという戦法を考える。この戦法は、序盤の角交換が無いため比較的穏やかになるが、角が使いにくくなるため基本的に受けから始まり、しかし受けすぎず飛角桂などによるカウンターを食らわせて、あるいは手抜いて攻め合い終盤に持っていく展開が多い(らしい)。受けから始まるので、相手の戦法選択や攻め方によって、こちらの戦法選択や受け方が変わる。しかしその代わりにこちらの土俵に引き込むことができ、序中盤を覚えればそれなりに指せるので、早指しや初心者におすすめな指し方である(ようだ)。相手の動きに対して、こちらの動きをシステム化することを目指したい。これはハチワンダイバーの「ハチワンシステム」にかなり近いと思っている。

現状の構想を纏める。

後手番速攻棒銀→対棒銀雁木
先手番速攻棒銀→ノーマル三間飛車
 居飛車→雁木
右四間飛車→旧型雁木
振り飛車→相振り向かい飛車
先手の相手が角道を先に閉じる→閉じずに後手番相振り三間飛車or相手が居飛車なら石田流本組
先手番一手損角換わりやその他奇襲→これだけシステムの対象外

考え中の構想

角と左銀を定位置に配置したら右側の端歩を突き、突き返したら雁木、位が取れたら四間飛車or三間飛車

基本的に雁木、相振り飛車、三間飛車の棋書だけで済むのでお財布にも優しい(?)

2025-02-01

場の離散変換は基底の取り替えとは無関係なのではという話

場の対称性をみる変換として連続変換には本義Lorentz変換や時空並進，U(1)変換やSU(2)変換といった結局ゲージ場のゲージ変換として解釈できる変換や，Dirac場におけるカイラル変換があり，離散変換には空間反転，時間反転，荷電共役がある．

連続	離散
本義Lorentz変換	空間反転
時空並進	時間反転
ゲージ変換	荷電共役
カイラル変換

連続･離散といった分類の他に，時空変換と，時空とは独立な内部変換という分類の仕方がある．普通，時空変換には本義Lorentz変換と時空並進と空間反転と時間反転を含め，内部変換はゲージ変換とカイラル変換を含める．

時空	内部
本義Lorentz変換	ゲージ変換
時空並進	カイラル変換
空間反転
時間反転

では荷電共役はどちらに入るのだろうか．時空には直接は関係なさそうだから内部変換かといわれると，ゲージ変換やカイラル変換といったDirac場やスカラー場の「位相」を変えるものとは違う気もする．そんなことを考えていたら，そもそも離散変換というのはLorentz変換とは違うものなのではと思えてきた．というのも，Lorentz変換と本義Lorentz変換の商は恒等変換，時間反転，空間反転，時空反転となっているが，ここでいうものは時空多様体の各点での正規直交基底の取り替えであり，鏡写しの世界を考えたり時間を逆行させたりして物理法則がどうなるか考えるものとは別である．ここで，空間反転･時間反転と呼んでいるものに，Lorentz変換に分類されるものと，荷電共役と同じ分類に入れられるものの異なるものがあり，混同してしまっているのではということを指摘したい．この違いは，前者は座標変換(厳密には基底の取り替え)による受動的変換，後者は物理系自体を変換する能動的変換であるところにある．以下，区別のため前者を123反転･0反転，後者をP変換･T変換ということにする．例えば一般にベクトル場は0反転によって
$\begin{align*} A(x)&=A^{a}(x)e_{a}(x)\\ e_{0}&\rightarrow e'_{0}=-e_{0},\ e_{i}\rightarrow e'_{i}=e_{i}\\ A&\rightarrow A'=A'^{a}(x)e'_{a}(x)=A\\ A'^{0}&=-A^{0}\\ A'^{i}&=A^{i} \end{align*}$
と成分が変換される．しかしベクトル場である電磁場はT変換によって
$\begin{align*} e_{0}&\rightarrow e'_{0}=e_{0},\ e_{i}\rightarrow e'_{i}=e_{i}\\ A&\rightarrow A'\neq A\\ A'^{0}&=A^{0}\\ A'^{i}&=-A^{i} \end{align*}$
と場自体が変換される．このとき基底は何も変化を受けない．これは四元電流密度がT変換によって
$\begin{align*} j^{0}&\rightarrow j'^{0}=j^{0}\\ j^{i}&\rightarrow j'^{i}=-j^{i} \end{align*}$
となるが，電磁気学の作用積分がT変換不変である仮定のもと相互作用項を眺めれば容易に導出できる．このように場の成分をみても良いが場自体みても明らかに両者は異なるものであることが理解できる．
よってこういう分類の方が物理学的に有意義なのではなかろうか．

Poincaré変換	CPT変換	内部
時空並進	C変換	ゲージ変換
本義Lorentz変換	P変換	カイラル変換
123反転	T変換
0反転

ただし赤は離散変換である．

2024-10-18

1次元鎖状分子の統計力学

ミクロカノニカル $(E,\ L)$

鎖要素数 $N$ は，右向きの要素数を $n_{+}$ ，左向きの要素数を $n_{-}$ とすると
$\begin{align*} N=n_{+}+n_{-} \end{align*}$
である．鎖状分子の両端の距離 $L$ は，鎖要素の長さを $a$ とすると
$\begin{align*} L=\left\{n_{+}-n_{-}\right\}a \end{align*}$
である．これらより
$\begin{align*} n_{+}=\frac{Na+L}{2a}\\ n_{-}=\frac{Na-L}{2a} \end{align*}$
である．微視的状態数 $W$ は
$\begin{align*} W(L)={}_{N}\mathrm{C}_{n_{+}}=\frac{N!}{n_{+}!n_{-}!} \end{align*}$
である．Boltzmannの原理よりエントロピー $S$ は
$\begin{align*} S&=S(L)\\ &\begin{alignedat}{1} \approx Nk_{\mathrm{B}}\Bigg\{&\ln2\\ &-\frac{1}{2}\left\{1+\frac{L}{Na}\right\}\ln\left(1+\frac{L}{Na}\right)\\ &-\frac{1}{2}\left\{1-\frac{L}{Na}\right\}\ln\left(1-\frac{L}{Na}\right)\Bigg\} \end{alignedat} \end{align*}$
である．温度 $T$ ，張力 $\sigma$ とし，Helmholtzの自由エネルギー $F$ の全微分より $\sigma$ は
$\begin{align*} \mathrm{d}F&=-S\mathrm{d}T+\sigma\mathrm{d}L\\ \sigma&=\left(\frac{\partial F}{\partial L}\right)_{T} \end{align*}$
鎖関節は自由に曲がると仮定すると，エネルギーは $L$ によらないため
$\begin{align*} &=\left(\frac{\partial\left\{E-TS\right\}}{\partial L}\right)_{T}\\ &\approx\frac{k_{\mathrm{B}}T}{2a}\ln\left(\frac{Na+L}{Na-L}\right)\\ &\underset{|L|\ll Na}{\approx}\frac{k_{\mathrm{B}}T}{Na^{2}}L\propto L \end{align*}$
である．またHelmholtzの自由エネルギーは， $L$ のある関数を $C$ として
$\begin{align*} F&=-ST+C(L)\\ \end{align*}$
でありエネルギーは
$\begin{align*} E&=F+TS\\ &=C(L) \end{align*}$
である．エネルギーは $L$ によらないため
$\begin{align*} C(L)&=\mathrm{const}.\\ E&=\mathrm{const}.\\ F&=-ST+\mathrm{const}. \end{align*}$
である．

カノニカル $(T,\ L)$

$L$ が一定であるため分配関数 $Z$ は， $L$ の微視的状態 $\omega(L)$ についてBoltzmann因子の総和をとり，エネルギーが一定であるため
$\begin{align*} Z&=\sum_{\omega(L)}\exp\left(-\frac{E}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\\ &=\exp\left(-\frac{E}{k_{\mathrm{B}}T}\right)W(L)\\ &=\exp\left(-\frac{E}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\frac{N!}{n_{+}!n_{-}!} \end{align*}$
である．これよりHelmholtzの自由エネルギー，張力はミクロカノニカルと同様になる．

等温定圧 $(T,\ \sigma)$

状態 $\omega$ の長さ $L(\omega)$ は
$\begin{align*} s_{i}(\omega)&=s_{i}:=\begin{cases} +1&(i番目の鎖要素が右向き)\\ -1&(i番目の鎖要素が左向き) \end{cases}\\ L(\omega)&=\sum_{i=1}^{N}as_{i}(\omega) \end{align*}$
である．分配関数 $Y$ は，長さの違いも考慮したすべての状態 $\omega$ についてBoltzmann因子の総和をとり，エネルギーが一定であるため
$\begin{align*} Y&=\sum_{\omega}\exp\left(-\frac{E-L(\omega)\sigma}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\\ &=\exp\left({-\frac{E}{k_{\mathrm{B}}T}}\right)\prod_{j=1}^{N}\left(\sum_{s_{j}=\pm1}\bullet\right)\prod_{i=1}^{N}\exp\left(\frac{as_{i}\sigma}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\\ &=\exp\left({-\frac{E}{k_{\mathrm{B}}T}}\right)\prod_{j=1}^{N}\left(\sum_{s_{j}=\pm1}\exp\left(\frac{as_{j}\sigma}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\right)\\ &=\exp\left({-\frac{E}{k_{\mathrm{B}}T}}\right)2^{N}\cosh^{N}\left(\frac{a\sigma}{k_{\mathrm{B}}T}\right) \end{align*}$
である．これよりGibbsの自由エネルギー $G$ は
$\begin{align*} G&=-k_{\mathrm{B}}T\ln Y\\ &=E-Nk_{\mathrm{B}}T\left\{\ln2+\ln\cosh\left(\frac{a\sigma}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\right\} \end{align*}$
である．Gibbsの自由エネルギーの全微分より $L$ は
$\begin{align*} \mathrm{d}G&=-S\mathrm{d}T-L\mathrm{d}\sigma\\ L&=-\left(\frac{\partial G}{\partial\sigma}\right)_{T}\\ &=Na\tanh\left(\frac{a\sigma}{k_{\mathrm{B}}T}\right) \end{align*}$
である．これはミクロカノニカルやカノニカルで導出される $\sigma$ ， $L$ ， $T$ の関係式と等価である．またエントロピーは
$\begin{align*} S&=-\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{\sigma}\\ &\begin{alignedat}{1} =Nk_{\mathrm{B}}\bigg\{&\ln2\\ &+\ln\cosh\left(\frac{a\sigma}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\\ &-\frac{a\sigma}{k_{\mathrm{B}}T}\tanh\left(\frac{a\sigma}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\bigg\} \end{alignedat} \end{align*}$
である．これはミクロカノニカルやカノニカルで導出されるエントロピーと， $\sigma$ ， $L$ ， $T$ の関係式により等価である．

2024-10-01

U(1)モデル

$\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\hg}{hg} \def\bbra#1{\mathinner{\left\langle\!\left\langle{#1}\right|\right.}} \def\kket#1{\mathinner{\left.\left|{#1}\right\rangle\!\right\rangle}} \def\bbrakket#1#2{\mathinner{\left\langle\!\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle\!\right\rangle}}$ $\begin{align} \mathcal{L}=\Re\hg_{0}\Big(&-\frac{1}{2}\left(\mathcal{D}\wedge A\right)^{2}\\ &-\sigma_{1}\sqrt{\sigma}\bbra{\psi}\mathcal{D}\kket{\psi}-\sigma_{2}m_{\psi}\bbrakket{\psi}{\psi}\\ &-\sigma\left(\mathcal{D}\phi\right)^{\ast}\left(\mathcal{D}\phi\right)-m_{\phi}^{2}\phi^{\ast}\phi-\frac{\lambda}{4}\left(\phi^{\ast}\phi\right)^{2}\Big) \end{align}$

2024-09-26

麻雀の役のTierについて考える

こんにちはうべゆうとです．
今日は麻雀の役のTier表を作ってみようと思います．

麻雀の役には飜数というものがあります．例えば，混一色は3飜喰い下がり2飜，清一色は6飜喰い下がり5飜であるため，字牌で3飜稼げないなら上がりやすさを除いて清一色の方が強い役といえます．しかし同じ飜数であるのに明らかに難易度が異なるものもあります．例えば七対子も三槓子も同じく2飜ですが，三槓子は役満である四暗刻よりも難易度が高く，飜数に対し割に合いません．つまり手牌にもよりますが三槓子より上がりやすい七対子の方が強い役といえます．また同じ飜数，同じ難易度の役でも他の役と複合しやすい方が強い役といえます．これら飜数，確率，複合しやすさを加味した役の強さTierのようなものがあれば，「么九牌の対子が多いなら対々和，中張牌の対子が多いなら七対子」のような詳細な指標は教えてくれませんが，「どれくらいの塩梅で立直をすればいいのか」，「混全帯么九や純全帯么九のような役はどの程度の気持ちで目指せばいいのか」ということは何となくわかるかもしれません．
飜数，確率，複合しやすさを一度に加味することができる指標に「%*複」という量があります．一般的な名称ではありませんが，オンライン対戦麻雀「天鳳」で統計がとられている量の一つで
tenhou.net
から閲覧することができます．「割合%」は出現確率(%)，「飜」は喰い下がりも加味した飜数の期待値，「複合飜」はその役で和了したときの飜数の期待値であり，「%*複」は割合%と複合飜の積です．鳳凰の四人半荘戦喰いタンあり赤ドラありにおける%*複の統計データ(2024/09/27 13:17)を元に役満と運要素の大きい偶然役と門前清自摸和を除いたTier表を作ってみました．ただし役牌は別々になっていたので95%*複としました．

2024-07-23

実Clifford代数同型八八

Clifford代数の自己準同型環との同型の表．
Fn $\rightarrow\mathrm{End}(F^{2^{n}})$
2Fn $\rightarrow\mathrm{End}(F^{2^{n}})\oplus\mathrm{End}(F^{2^{n}})$

$p\backslash q$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$0$	実	複素	四元	2四元	四元1	複素2	実3	2実3
$1$	2実	実1	複素1	四元1	2四元1	四元2	複素3	実4
$2$	実1	2実1	実2	複素2	四元2	2四元2	四元3	複素4
$3$	複素1	実2	2実2	実3	複素3	四元3	2四元3	四元4
$4$	四元1	複素2	実3	2実3	実4	複素4	四元4	2四元4
$5$	2四元1	四元2	複素3	実4	2実4	実5	複素5	四元5
$6$	四元2	2四元2	四元3	複素4	実5	2実5	実6	複素6
$7$	複素3	四元3	2四元3	四元4	複素5	実6	2実6	実7