まず通常の温度というものはエントロピー，エネルギー，その他エントロピーの示量変数に対し熱力学的に と定義される．右辺の意味を，エントロピーの存在と性質を認め温度の定義を知らない立場になって考える．ある孤立系を少なくとも熱的に接触したそれぞれ…

前回(物理学徒のための常用単位系 - うべの時空代数)とは異なり温度の逆数の負の単位を適切なスケールに調節し，温度は通常の温度の逆数の負(新しい温度の定義 - うべの時空代数)を使うようにした． 量 記号 sux cheks SI 時間 長さ 質量 電圧 温度 周波数 …

この単位系の利点は光速，Plank定数，素電荷，Boltzmann定数がの冪乗で表されることである．これは，真空の誘電率や真空の透磁率が微細構造定数を含む簡単な値で表される，ジュールと電子ボルトの変換が容易になるといった利点を生む．この単位系の記号は長…

次元実線型空間とその上の非退化な計量の二次空間の幾何代数(次元非退化実Clifford代数)を考える．の次斉次元の集合を，の元から次の斉次な部分全体を抜き出す写像を とする．斉次元多変数実数値関数 と斉次元多変数斉次元値関数 を考え，全ての引数の斉次な…

こんにちは．うべです．発見があったので137億年ぶりにはてなブログを書きます． 正準方程式は一般化座標・一般化運動量，あるいはもっと一般的に正準変換されて正準共役量 に対し行列を使って と書ける．またPoisson括弧は相空間上関数に対し と書ける．こ…

#pragma once /*st.h*/ #include <stdio.h> #include <math.h> class st { public: double est[4][4] = { 0.0 }; static const st gamma0; static const st gamma1; static const st gamma2; static const st gamma3; st operator+(const st& e2)const; st operator-(const st</math.h></stdio.h>…

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まず内積の構造をもたない線形空間の行列表現は見聞きしたことがないので，そこから固めたい．線形空間は有限次元を考え係数体は複素数とする． 線形空間があってその元がある．の基底をとしたとき と分解されたとする．また他の基底との取り換えは のように…

ベクトルの成分は とLorentz変換されるとする．またベクトルの基底は，ベクトル自体はLorentz不変で とならないといけないので と を満たす逆の変換がされる．ベクトルの基底を時空代数の基底の計算規則を満たすものと考えるとMaxwell方程式をうまく記述でき…

※本議論で重力は無視する．Dirac行列はの表現でスピノルも4成分とする．また正規直交基底における計量はとする． Dirac行列は不変スピノルテンソルつまり1つの座標に関する添字と2つのスピノルに関する添字が打ち消されるLorentz不変な定数行列として扱うの…

ベクトル空間からその係数体への線形写像を線形汎関数といいその集合を双対ベクトル空間ないしは単に双対空間といいその元を余ベクトル，共変ベクトル，コベクトル，一次形式，1-形式…という． これが双対空間辺りの定義で間違いない．要するに余ベクトルと…

Lie代数と幾何代数の積をとりあえず と定義する．これはKronecker積とみることができる．とりあえず平坦なMinkowski空間を考え，その幾何代数の基底をとし，ゲージ場に関するLie代数の生成子をとする．ここでゲージ場を と定義し，非可換ゲージ理論におけるD…

この記事は試行錯誤まで書かれて読みづらいため https://ubeyuto.hatenablog.com/entry/Yang-Mills にまとめました。 時空代数は電磁場を記述するのに非常にすっきりして適している．これを重力場中に拡張したのが僕が考えた(ことにしている)接幾何代数であ…

本記事のハイライトは である． 独立変数とその空間の座標とそれに対応する曲線座標系に拡張したクリフォード代数の基底()を考える．一次一形式，ディラック作用素 (上付きは双対基底)として，あるスカラー関数値に関して が成り立つ．これはナブラと微小ベ…

偏微分は可換であるとする． これはの中身が任意の基底と直交している高次元への法線ベクトルであることを示唆している．単位法線ベクトルをとおき中身を とすれば これはオイラー方程式とよばれる．ちなみには第2基本量とよばれ より の対称性を持つ．の関…

よく とされるがほんとにそうなのか． 中心を基底が張る三次元正規直交直線座標系に置く半径の球面は位置ベクトルで と表すことができる．球面上の接空間における基底は と定義さる．曲面上の計量は と定義される．またクリストッフェル記号は より である．…

最近，マクスウェル方程式の三次のほうである はを共変成分として計算を行うと自然と共変形式の電磁気におけるビアンキの恒等式が導かれることを確かめ，逆に反変成分で行うと とリーマン曲率テンソルが出現することを知った．また基底を対象にすると とリー…

基底の成分は ちなみにと計算しても同値である．またの偏微分を含む項がキャンセルされたので である．これらの計算をベクトル場の成分が共変で表されるときで行えば自然にマクスウェル方程式の3次のほうが導かれる(幾何代数と重力場中の物理 - うべの時空代…

n次元曲線座標系，n次元直交座標系が入っていて各点での基底，の基底が定義されているn次元空間について という量が定義されている．これらには という関係がある． よって一般に の変換則が成り立ち と形が変わらない．

電磁場のラグランジアンを幾何代数で書いたら である．確かめよう 直交座標系(基底，偏微分)を使って計算を進める． の成分は 時空代数2次同士の幾何積の0次の部分は であるため よって

n次元曲線座標系が入っていて各点で基底が定義されているn次元空間上にを一次基底とする幾何代数のm次場があり，を満たすに埋め込まれた位相次元lの，l次元曲線座標系が入っていて各点で基底が定義されている領域がある． 添字の丸括弧は総和を取らないこと…

今年は編入試験一年前の年度ということもあり焦って勉強を始めたのだが，自分で決めた勉強量を終わらせ車校を終わらせ板前のバイトが休みで暇なので最近考えることをネット媒体にでもしてみよう(もうそろそろ勉強のために考えに耽ることを抑えなくては)．こ…

現代の物理学は最小作用の原理の登場により成分のみの表示で導出され，テンソルなどの基底が物理方程式中に論じられなくなったように思う．例えば測地線は作用から導くことができるが，基底を使って記述すると と書くことができる．これは積の微分法と連鎖律…

曲線座標系におけるベクトル場に，における1次偏微分商作用素を作用させる．はすぐ左にある関数値の関数に作用するによる偏微分であり，はにおける基底ベクトルである．直線座標系を用意しその1次基底をとするならば である．ただし接続がクリストッフェル記…

時空代数の逆元の求め方を思いついたそれまでの発想や過程を説明したい．時空代数の任意の元は のようにあらわせる．は二乗が，それ以外の1次基底はである．余談であるが，の添え字が少々独特なのはC言語で typedef struct { double est[4][4]; }est;と配列…