うべの時空代数

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幾何代数微分と共変解析力学

\def\ou#1#2#3{\overset{#2}{\underset{#3}{#1}}}\def\os#1#2{\overset{#2}{#1}}\def\diff{\mathrm{d}}\def\D{\mathrm{D}}\def\B{\mathrm{B}}\def\abs#1{\lvert#1\rvert}　d次元実線型空間とその上の非退化な計量gの二次空間(V,\ g)の幾何代数(d次元非退化実Clifford代数)\mathrm{GA}(V,\ g)を考える．\mathrm{GA}(V,\ g)のi次斉次元の集合を\mathrm{GA}^{i}(V,\ g)，\mathrm{GA}(V,\ g)の元からi次の斉次な部分全体を抜き出す写像を
\begin{align} \mathrm{hg}_i\colon&\mathrm{GA}(V,\ g)\to\mathrm{GA}^{i}(V,\ g)\\ &A\mapsto A\mbox{の}i\mbox{次の斉次な部分全体} \end{align}
とする．斉次元多変数実数値関数
\begin{align} f\colon&\displaystyle\prod_{n=1}^{N}\mathrm{GA}^{i_n}(V,\ g)\to\mathbb{R}\\ &(\alpha_n)_{n\in\left\{1,\ \ldots,\ N\right\}}\mapsto f(\alpha) \end{align}
と斉次元多変数斉次元値関数
f'_n\colon\displaystyle\prod_{n=1}^{N}\mathrm{GA}^{i_n}(V,\ g)\to\mathrm{GA}^{i_n}(V,\ g)
を考え，全ての引数の斉次な任意の変分
\alpha_n\to\alpha_n+\delta\alpha_n\in\mathrm{GA}^{i_n}(V,\ g)
に対して
\begin{align} \delta f(\alpha)=&f(\alpha+\delta\alpha)-f(\alpha)\\ =&\mathrm{hg}_0\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\delta\alpha_nf'_n(\alpha)\right) \end{align}
を満たす斉次元多変数斉次元値関数組(f'_n)_{n\in\left\{1,\ \ldots,\ N\right\}}が1つに決まるときfは\alphaで微分可能であるといい，f'_nをfの\alpha_nに関する偏導関数や偏微分といい
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial\alpha_n}:=f'_n
と書く．幾何代数は一般的に非可換であるが\mathrm{hg}_0の中では2つの同次数斉次元の積は交換してもいいため
\begin{align} \delta f(\alpha)=\mathrm{hg}_0\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}f'_n(\alpha)\delta\alpha_n\right) \end{align}
としても同値である．
　簡単な例としては
\begin{align} f\colon&\mathrm{GA}^{i}(V,\ g)\to\mathbb{R}\\ &\alpha\mapsto\mathrm{hg}_0\left(\alpha^2\right) \end{align}
という関数は
\delta f(\alpha)=\mathrm{hg}_0\left((\alpha+\delta\alpha)^2-\alpha^2\right)\\ =\mathrm{hg}_0\left(\delta\alpha2\alpha\right)
であるため
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial\alpha}(\alpha)=2\alpha
であり
\begin{align} g\colon&\mathrm{GA}^{i}(V,\ g)^2\to\mathbb{R}\\ &(\alpha,\ \beta)\mapsto\mathrm{hg}_0\left(\alpha\beta\right) \end{align}
という関数は
\delta g(\alpha,\ \beta)=\mathrm{hg}_0\left(\{\alpha+\delta\alpha\}\{\beta+\delta\beta\}-\alpha\beta\right)\\ =\mathrm{hg}_0\left(\delta\alpha\beta+\delta\beta\alpha\right)
であるため
\displaystyle\frac{\partial g}{\partial\alpha}(\alpha,\ \beta)=\beta,\ \frac{\partial g}{\partial\beta}(\alpha,\ \beta)=\alpha
である．
　この幾何代数微分は解析力学に用いることができ，共変性が明らかな定式化に役立つ．その前に本記事で用いる記号や公式を纏めておく．
\D：Dirac作用素．\displaystyle\os{g}{\mu\nu}i\left(\frac{\partial}{\partial\os{x}{\nu}}\right)\frac{\partial}{\partial\os{x}{\mu}}=\os{\gamma}{\mu}\frac{\partial}{\partial\os{x}{\mu}}
\D\wedge：Dirac作用素のうち次数を1上げる部分．
\D\vee：Dirac作用素のうち次数を1下げる部分．形式的には\D-\D\wedgeと書ける．
\mathrm{B}：右から左に作用するDirac作用素．同様に\wedge\mathrm{B}，\vee\mathrm{B}などとする．
\abs{\varpi}：体積形式．\abs{\displaystyle\bigwedge_{i=1}^{d}\diff\os{x}{i}\ou{\gamma}{}{i}}=\sqrt{\abs{\det[g]}}\diff^{d}x．
\alpha\in\mathrm{GA}^{i}(V,\ g)，\beta\in\mathrm{GA}^{i+1}(V,\ g)に対し
\mathrm{hg}_0(\D\vee\left\{\alpha\beta\right\})=\mathrm{hg}_0(\left\{\D\wedge\alpha\right\}\beta+\alpha\left\{\beta\vee\mathrm{B}\right\})
というLeibniz則が成り立つ．また詳しく考察，証明していないが恐らく成り立つであろう，\alpha_i\in\mathrm{GA}^{i}(V,\ g)に対し
\displaystyle\int_{\mathcal{M}}\abs{\varpi_4}\D\vee\alpha_1\stackrel{?}{=}\displaystyle\int_{\partial\mathcal{M}}\mathrm{hg}_0(\varpi_3\star\alpha_1)
という公式を用いる．幾何代数を用いてStokesの定理を記述する方法は模索中である．被積分部分がスカラーであればいいので
\displaystyle\int\mathrm{hg}_0(\varpi_{n}A),\ \displaystyle\int\abs{\varpi_{n}}\mathrm{hg}_0(A)
という積分が考えられ，Stokesの定理としたいのは
\displaystyle\int\mathrm{hg}_0(\varpi_{n}\D\vee\alpha_{n+1}),\ \displaystyle\int\mathrm{hg}_0(\varpi_{n}\D\wedge\alpha_{n-1}),\ \displaystyle\int\abs{\varpi_{n}}\D\vee\alpha_1
といったものである．何かいい案があれば教えてください．
　斉次元場\alpha\in\mathrm{GA}^{i}(V,\ g)の作用
S[\alpha]=\frac{1}{c_0}\displaystyle\int_{\mathcal{M}}\abs{\varpi}L(\alpha,\ \D\wedge\alpha)\\ =\frac{1}{c_0}\displaystyle\int_{\mathcal{M}}\abs{\varpi}\mathrm{hg}_0\left(\mathcal{L}(\alpha,\ \D\wedge\alpha)\right)
を考える．Lが微分可能ならば，\delta\alpha|_{\partial\mathcal{M}}=0の下で作用の変分を計算すると作用原理より
\delta S[\alpha]=\frac{1}{c_0}\displaystyle\int_{\mathcal{M}}\abs{\varpi}\mathrm{hg}_0\left(\delta\alpha\frac{\partial L}{\partial\alpha}+\delta\{\D\wedge\alpha\}\frac{\partial L}{\partial(\D\wedge\alpha)}\right)\\ =\frac{1}{c_0}\displaystyle\int_{\mathcal{M}}\abs{\varpi}\mathrm{hg}_0\left(\delta\alpha\frac{\partial L}{\partial\alpha}+\{\D\wedge\delta\alpha\}\frac{\partial L}{\partial(\D\wedge\alpha)}\right)\\ =\frac{1}{c_0}\displaystyle\int_{\mathcal{M}}\abs{\varpi}\mathrm{hg}_0\left(\delta\alpha\frac{\partial L}{\partial\alpha}+\D\vee\left\{\delta\alpha\frac{\partial L}{\partial(\D\wedge\alpha)}\right\}-\delta\alpha\left\{\frac{\partial L}{\partial(\D\wedge\alpha)}\vee\B\right\}\right)\\ =\frac{1}{c_0}\displaystyle\int_{\mathcal{M}}\abs{\varpi}\mathrm{hg}_0\left(\delta\alpha\left(\frac{\partial L}{\partial\alpha}-\frac{\partial L}{\partial(\D\wedge\alpha)}\vee\B\right)\right)=0\\ \displaystyle\therefore\frac{\partial L}{\partial\alpha}-\frac{\partial L}{\partial(\D\wedge\alpha)}\vee\B=0
と共変定式化されたEuler-Lagrange方程式が得られる．