■ - うべの時空代数

$\def\ou#1#2#3{\overset{#2}{\underset{#3}{#1}}}\def\os#1#2{\overset{#2}{#1}}\def\diff{\mathrm{d}}\def\biff{\mathrm{b}}\def\D{\mathrm{D}}\def\p{\mathrm{p}}\def\pu#1{\underset{#1}{\mathrm{p}}}\def\G#1#2{\overset{#1}{\underset{#2}{\Gamma}}}\def\abs#1{|#1|}$ n次元曲線座標系 $(\os{u}{\iota})$ ，n次元直交座標系 $(\os{x}{\iota})$ が入っていて各点で $(\os{u}{\iota})$ の基底 $\ou{\gamma_u}{}{\mu}$ ， $(\os{x}{\iota})$ の基底 $\ou{\gamma_x}{}{\mu}$ が定義されているn次元空間 $S$ について
$\varpi_u:=\displaystyle\bigwedge_{\mu=0}^3\diff\os{u}{(\mu)}\ou{\gamma_u}{}{(\mu)}$
$\varpi_x:=\displaystyle\bigwedge_{\mu=0}^3\diff\os{x}{(\mu)}\ou{\gamma_x}{}{(\mu)}$
という量が定義されている．これらには
$|\varpi_u|=|\varpi_x|$
という関係がある．
$|\varpi_x|=d^4x$
$\ou{J}{\mu}{\nu}=\frac{\partial \os{x}{\mu}}{\partial \os{u}{\nu}}$
$|\varpi_u|=d^4u|\ou{\gamma_u}{}{0}\wedge\ou{\gamma_u}{}{1}\wedge\ou{\gamma_u}{}{2}\wedge\ou{\gamma_u}{}{3}|\\=d^4u|\ou{J}{\mu}{0}\ou{J}{\nu}{1}\ou{J}{\rho}{2}\ou{J}{\sigma}{3}\ou{\gamma_x}{}{\mu}\wedge\ou{\gamma_x}{}{\nu}\wedge\ou{\gamma_x}{}{\rho}\wedge\ou{\gamma_x}{}{\sigma}|\\=d^4u|J|$
よって一般に
$|\varpi|=|\varpi'|$
の変換則が成り立ち
$\int|\varpi|L=\int|\varpi'|L'$
と形が変わらない．