■ - うべの時空代数

偏微分は可換であるとする．
$\Gamma^k_{ij}=\frac12g^{ka}\{\partial_ig_{ja}+\partial_jg_{ia}-\partial_ag_{ij}\}$
$\partial_ag_{ij}=\partial_a\{e_i\cdot e_j\}=\partial_ae_i\cdot e_j+e_i\cdot\partial_ae_j$
$\Gamma^k_{ij}=\frac12g^{ka}\{\partial_ie_j\cdot e_a+e_j\cdot\partial_ie_a+\partial_je_i\cdot e_a+e_i\cdot\partial_je_a-\partial_ae_i\cdot e_j-e_i\cdot\partial_ae_j\}$
$\partial_ie_j=\partial_je_i$
$\Gamma^k_{ij}=g^{ka}\partial_ie_j\cdot e_a$
$\Gamma^k_{ij}g_{hk}=\partial_ie_j\cdot e_h$
$0=\partial_ie_j\cdot e_h-\Gamma^k_{ij}g_{hk}$
$0=\{\partial_ie_j-\Gamma^k_{ij}e_k\}\cdot e_h$
これは $\{\}$ の中身が任意の基底 $e_h$ と直交している高次元への法線ベクトルであることを示唆している．単位法線ベクトルを $n$ とおき中身を
$b_{ij}n=\partial_ie_j-\Gamma^k_{ij}e_k$
とすれば
$\partial_ie_j=\Gamma^k_{ij}e_k+b_{ij}n$
これはオイラー方程式とよばれる．ちなみに $b_{ij}$ は第2基本量とよばれ
$\partial_ie_j=\partial_je_i$
より
$b_{ij}=b_{ji}$
の対称性を持つ． $b_{ij},\ n$ の関係を知りたい．
オイラー方程式の両辺を $n$ と内積をとって．
$\partial_ie_j\cdot n=b_{ij}$
$n\cdot e_i=0$
より
$\partial_j\{n\cdot e_i\}=\partial_jn\cdot e_i+n\cdot\partial_je_i=0\\n\cdot\partial_je_i=-\partial_jn\cdot e_i$
よって
$b_{ij}=-\partial_jn\cdot e_i$
この公式は誰かが見つけているだろうが僕が知る限り名前はついてない．この式は $b_{ij}$ は $n$ によるということを言っている．さて $n$ であるが基底 $e_i$ の張る空間の次元よりも2以上高い次元を考えると方向が定まらないだろう．(実は定まり，次の仮定が仮定無しで導けるならぜひ教えていただきたい)そこで次のように仮定する
$n\cdot n=1\\\partial_j\{n\cdot n\}=2\partial_jn\cdot n=0\\\partial_jn\cdot n=0$
であるが基底 $e_i$ の張る空間のベクトルなら $n$ と直交しているので
$\partial_jn=B^k_je_k$
と書けると仮定する． $B^k_j$ は
$b_{ij}=-\partial_jn\cdot e_i$
より
$b_{ij}=-B^k_jg_{ik}\\B^k_j=-b_{ij}g^{ki}=:-b^k_j$
である．よって
$\partial_jn=-b^k_je_k$
これはワインガルテン方程式とよばれる．(赤文字が真なら先ほどの式と等価である)
まとめると
$\partial_ie_j=\Gamma^k_{ij}e_k+b_{ij}n$
$b_{ij}=-\partial_jn\cdot e_i$
$\partial_in$ が基底 $e_i$ の張る空間のベクトルならば
$\partial_jn=-b^k_je_k$
さてよく
$\partial_ie_j=\Gamma^k_{ij}e_k$
とされるがこれはどういうことか．これは $n$ が基底 $e_i$ の張る空間のものによって知覚できないために $\partial_i$ に基底 $e_i$ の張る空間への射影(はみでた高次元的に垂直なベクトルを0にする作用素)の意味を含ませているといえるだろう．区別するためにこの偏微分を
$\bar{\partial}_i$
と表記しよう．接空間の基底が $e_i$ でありその基底が作るテンソル代数の $(r,\ s)$ の元 $T$ に対し
$D:=e^i\bar{\partial}_i$
$D\otimes T$
は共変微分と等価になる．