(要修正) - うべの時空代数

$\def\ou#1#2#3{\overset{#2}{\underset{#3}{#1}}}\def\os#1#2{\overset{#2}{#1}}\def\diff{\mathrm{d}}\def\biff{\mathrm{b}}\def\D{\mathrm{D}}\def\p{\mathrm{p}}\def\pu#1{\underset{#1}{\mathrm{p}}}\def\G#1#2{\overset{#1}{\underset{#2}{\Gamma}}}\def\abs#1{|#1|}$ n次元曲線座標系 $(\os{x}{i})$ が入っていて各点で基底 $\ou{\gamma}{}{i}$ が定義されているn次元空間 $S$ 上に $\ou{\gamma}{}{i}$ を一次基底とする幾何代数のm次場 $F_m$ があり， $n\geq l$ を満たす $S$ に埋め込まれた位相次元lの，l次元曲線座標系 $(\os{u}{j})$ が入っていて各点で基底 $\ou{\gamma_u}{}{j}$ が定義されている領域 $D$ がある．
$\varpi_l:=\displaystyle\bigwedge_{j=1}^l\diff\os{u}{(j)}\ou{\gamma_u}{}{(j)}.$
添字の丸括弧は総和を取らないことを意味し $l=0$ では $1$ である．
$\gamma_n:=\displaystyle\bigwedge_{i=1}^n\ou{\gamma}{}{i},\\\varpi_l\bigtriangledown F_m:=\frac{E_0(\varpi_l F_m)}{1},\\\varpi_l\bigtriangleup F_m:=\frac{E_n(\varpi_l F_m)}{\gamma_n}.$
ある幾何代数の元 $a$ のe次の部分を抽出する演算子を $E_e(a)$ とする．
$\int_D\varpi_l\bigtriangledown F_m\ |m-l=0,\\\int_D\varpi_l\bigtriangleup F_m\ |m+l=n,\\\int_D|\varpi_l|\frac{F_0}{1},\\\int_D|\varpi_l|\frac{F_n}{\gamma_n}.$

$\int_D\varpi_l\bigtriangledown F_m\wedge\D=\int_{\partial D}\varpi_{l-1}\bigtriangledown F_m,\\\int_D\varpi_l\bigtriangleup F_m\vee\D=\int_{\partial D}\varpi_{l-1}\bigtriangleup F_m.$